在金融市场中，投资者最常用的两种交易策略是趋势和均值回归策略。如果一只股票表现出如下图所示的趋势行为，如果它在上一个时期已经上涨（下跌），那么它当期的价格更有可能上涨（下跌）。
这是标准普尔500指数时间序列的一部分。这是一个趋势行为的例子。
当股票在t时刻的收益以某种方式依赖于前一个时刻t-1的收益时，我们称其为自相关。在趋势机制中，收益是正相关的。
相反，均值回归股票的价格在其历史均值周围随机波动，并表现出回归历史均值的趋势。当存在均值回归时，如果价格在当期上升（下降），则更有可能在下一时期下降（上升）。
某股票的时间序列的一部分。这是均值回归行为的一个例子。
这两个机制发生在不同的时间框架内（趋势行为通常发生在更大的时间范围内），它们通常是共存的。
在这两种情况下，当前价格都包含了有关未来价格的有用信息。事实上，交易策略只有在资产价格呈趋势或均值回归的情况下才能产生利润。否则，价格就会遵循所谓的随机行为（见下图）。
均值回归时间序列
股票价格很少表现出回归均值的行为。在绝大多数情况下，它们遵循随机行为。然而，均值回归价格序列可以通过组合不同的股票来合成一个协整投资组合，它显示了平稳性。虽然平稳性可以用各种著名的标准统计检验来识别，但在本文中，我将重点介绍一种基于所谓的赫斯特指数的强大分析类型，它与价格时间序列的分形指数有关。赫斯特指数提供了一种方法来衡量金融时间序列偏离随机行为的数量。这是一个非常简单的工具，可以帮助投资者决定采用哪种策略。
平稳性
现在，假设给定股票的价格，我用S(t)表示，表现出均值回归行为。下面的随机微分方程（SDE）可以更正式地描述这种行为：
描述均值回归过程的SDE。
这里，符号：
分别为t时刻的股票价格，t时刻的维纳过程（或布朗运动），均值回归率θ，过程的平衡值或均值μ及其波动率σ。根据这个SDE，t 1时价格的变化正比于t时刻价格与均值之间的差。正如我们所看到的，如果价格比平均值小（大），价格变化更有可能是正（负）的。这种SDE的一个著名的特例是所谓的奥恩斯坦-乌伦贝克过程。
奥恩斯坦-乌伦贝克过程是以荷兰物理学家伦纳德·奥恩斯坦和荷兰裔美国物理学家乔治·尤金·乌伦贝克的名字命名的。
两个最著名的（非）平稳性检验是迪基-福勒检验（DF）和增广迪基-福勒检验（ADF）。
迪基-福勒检验和增广迪基-福勒检验
ADF检验是DF检验的延伸，让我们先理解后者。考虑以下简单模型：
其中S(t)是随着时间变化的股票价格，ρ是一个系数，最后一项是一个误差项。虚假设是ρ=1。因为在虚假设下，S(t)和S(t-1)都是非平稳的，因此违反了中心极限定理，我们必须采用以下技巧。
迪基-富勒检验是以统计学家韦恩·富勒和大卫·迪基的名字命名的。ADF是这种测试对更复杂的时间序列模型的扩展。
定义第一个差值和参数δ如下：
回归模型可以方便地重写为：
然后，迪基-福勒检验假设（严格来说是虚假设）：
DF检验背后的逻辑可以启发式地理解如下。如果S(t)是平稳的，它倾向于返回到某个常量平均值（或可能是确定性演变的趋势），这意味着更大的值可能跟随较小的值，反之亦然。这使得这个级数的当前值成为未来值的一个强有力的预测器。如果S(t)是非平稳的，未来的变化不依赖于当前值（例如，如果过程是随机行为）。
ADF测试遵循类似的程序，但它适用于一个更复杂、因此更完整的模型：
这里，α是一个实常数，β是时间趋势系数，δs是差异系数：
其中p是过程的滞后阶数，最后一项是误差。这里的测试统计量是：
其中分母为回归拟合的标准误差。在DF测试的情况下，我们期望 γ赫斯特指数
还有另一种方法来检验过程中均值回归或趋势行为的存在。这可以通过分析该序列的扩散速度并将其与随机行为的扩散速度进行比较来实现。这一过程将引出赫斯特指数的概念，正如我们将看到的，它与分形指数密切相关。
虽然赫斯特指数的应用可以在数学的多个领域中找到，但我们在这里只关注其中的两个，即分形和长记忆过程。
分形
分形可以定义为：
曲线或几何图形，其每一部分具有与整体相同的统计特性。分形在建模结构（如侵蚀海岸线或雪花）时非常有用，在这些结构中，类似的模式在逐渐变小的尺度上重现，在描述部分随机或混沌现象时非常有用，如晶体生长、流体湍流和星系形成。
分形的一个例子是下图所示的谢尔宾斯基三角形。
测量表面粗糙度的“分形维数”与H有以下简单关系：
我们看到，大的赫斯特指数与小的分形维数有关，即更平滑的曲线或表面。下面显示了一个示例。这张图清楚地表明，随着H的增加，曲线确实变得更平滑。
随着H的增加，曲线变得更光滑，分形维数减小
分形具有自相似性。在工程和应用数学的几个分支中都存在一种自相似的类型，叫做统计自相似。在显示这种自相似性的数据集中，任何分段在统计上与完整集相似。统计自相似性最著名的例子可能是海岸线。
这就是所谓的海岸线悖论的一个例子。根据它，如果用不同的单位测量海岸线，就会得到不同的结果
1967年，分形几何领域的创始人之一伯努瓦·曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot）在《科学》杂志上发表了一篇开创性的论文，题为《英国的海岸有多长》统计自相似性和分数维，他讨论了分形的性质。
长相关性
当过程具有长相关性时，就会产生一种偏离随机行为的重要形式。这些过程表现出高度的持久性，过去的事件与未来的事件具有非无关的相关性，即使它们相隔甚远。由格兰杰、乔伊和霍斯金设想的一个例子是由以下的分数差分时间序列给出的：
其中L是通常的滞后算子，指数d是非整数， ϵ一是误差项。用简单的二项式展开，这个方程可以用函数表示：
对一个简单AR(1)过程的自相关函数进行比较，发现后者的自相关函数比前者的自相关函数具有更慢的衰减速率。例如，对于τ~25的滞后：
赫斯特指数的起源
虽然赫斯特指数的估算方法最近的发展来自于分形数学和混沌理论，但令人好奇的是，赫斯特指数首先被用于水文领域，这主要涉及水的分布、水质及其与土地的作用。此外，最近对金融时间序列的长期依赖性的测试是基于一种最初由英国水文学家哈罗德·赫斯特开发的名为重新缩放范围的统计数据。赫斯特的原始论文的首页如下所示。
哈罗德·赫斯特的原始论文赫斯特指数和异常扩散
了解价格序列本质的一个方法是分析它的扩散速度。扩散是一个被广泛使用的概念，它描述的是某种物体（可以是一个想法，一种资产的价格，一种疾病等）从一个集中度比其他大多数地方都高的地方“扩散”。
图中显示了三种类型的扩散的均方位移随时间τ的变化。
通过研究方差如何依赖于后续测量值之间的差异，可以测量扩散：
在这个表达式中，τ是两个测量之间的时间间隔，x是价格S(t)的一般函数。这个函数通常被选为对数价格：
这是一个众所周知的事实，股票价格收益的方差很大程度上取决于一个人选择衡量它的频率。高频率的测量，比如每一分钟的间隔，与每天的测量有很大的不同。
如果股票价格遵循几何随机行为，方差将随着滞后τ线性变化：
收益是正态分布的。然而，当与纯随机行为有小偏差时，就像经常发生的那样，给定的滞后τ的方差不再与τ成正比，而是获得一个反常扩散指数：
反常扩散指数与赫斯特指数成正比
H是所谓的赫斯特指数。回归均值和趋势股的特点是：
满足这个方程的日收益不是一个正态分布。相反，该分布有较宽的尾部和较薄和较高的峰值附近的平均值。
赫斯特指数可以用来区分三种可能的市场机制：
如果 H 0.5，该序列显示趋势行为，其特征是存在持久性行为。H = 0.5的情况对应于几何布朗运动。
因此，赫斯特指数可以衡量时间序列的持续性水平，并可以用来识别市场状态：如果在某个时间尺度上，赫斯特指数发生变化，这可能意味着从均值回归到趋势状态的转变，反之亦然。
以下是每种情况的例子：
在下一个图中，我们看到赫斯特指数是如何随时间变化的，表明了状态的变化。
赫斯特指数随时间变化的四个不同的金融时间序列。自相关
股票价格S(t)的自相关函数定义如下：
具有缓慢衰减的自相关过程称为长记忆过程。这样的过程对过去的事件有一些记忆（过去的事件对未来的事件有逐渐减弱的影响）。长记忆过程具有幂律衰减的自相关函数ρ(τ)：
α与赫斯特指数的关系是：
注意，当H接近1时，衰减变得越来越慢，因为α指数接近零。一开始看起来是随机的过程，实际上是长记忆过程，在开放区间内有赫斯特指数：
这些过程通常被称为分数布朗运动（fBm），布朗运动的一种推广。
使用方差估计赫斯特的重要问题
为了获得对τ的方差依赖关系，我们必须对许多滞后重复相同的计算，并提取结果的对数图的斜率。正如我们现在看到的，H的值很大程度上取决于我们对滞后时间的选择。
让我们考虑标准普尔500指数SPY和估计的赫斯特指数不同的滞后。我们首先运行以下代码，将滞后时间范围设为2到20：
我们得到以下H的值：
hurst = 0.43733191005891303
如前所述，这个H值表明了一个均值回归机制，尽管相当温和。滞后时间为300-400的相同代码给出：
hurst = 0.6107941846903405
H的这个值表明存在趋势状态。因此，我们可以看到，滞后时间的选择强烈地影响了赫斯特指数的值。这意味着这个时间序列既不是纯粹的回归均值，也不是趋势，而是改变行为或改变机制，这取决于人们是在短期内还是在长期内衡量它。此外，正如这里所指出的，由于这些结论远非肉眼可见，我们得出结论，基于赫斯特指数的分析可以提供重要的见解。
长相关性和缩放范围
1971年，曼德尔布罗特注意到股票收益长期异常行为的存在。
曼德尔布罗特是分形几何领域的创始人之一。
为了检验这种长期依赖性，曼德尔布罗特使用了R/S检验统计量。R/S统计量是一个序列偏离其均值的部分和的范围，用标准偏差重新调整。曼德尔布罗特的研究表明，与自相关分析、方差比和谱分解等其他方法相比，使用R/S统计量带来了远远优于其他方法的结果，尽管它确实有缺点，如对短期依赖的敏感性。
R/S统计如下。例如，考虑以下长度为n的股票收益时间序列：
前k个偏离均值的部分和为：
R/S统计量正比于k∈[1,n]的和的最大值和最小值之差：
分母σ(n)是最大似然标准差估计量。R/S的范围与观测次数n有如下关系：
其中H是赫斯特指数。曼德尔布罗特和沃利斯首先使用这种标度行为来发现长期依赖的存在。由于重新缩放的范围和观测数之间的关系是多项式，一个简单的对数-对数图可以计算H的值，因为：
在下面的图中，赫斯特指数估计在0.53左右，这大约对应于随机行为。代码如下：
结论和展望
我们看到，使用赫斯特指数的概念可以导致对市场制度非常有用的见解。有了这些信息，人们就可以决定采用均值回归策略或趋势策略中更合适的一种。
简而言之，赫斯特指数的值标识了时间序列是否对过去的事件有一些记忆。赫斯特值不总是等于1/2的事实表明有效市场假设，根据该假设，市场是完全不可预测的。原则上，正确识别这些异常现象对于建立有效的交易策略非常有用。
分形是什么,股市里面的分形,有谁知道
分形在缠论里有很细的讲述和划分。但不建议研究分形这东西，对你没有好处。
其实做交易大道至简，作为普通人应该去看日线，周线级别的周期，甚至更大的周期，小周期对你毫无意义，并且也是浪费时间。
交易很难，如果没有老师仅靠自己，成功率不到1%,如果有老师带，成功率可以提高到10%到30%。
所以建议，如果你是一个人做交易的话，不要研究什么技术，什么指标，那些对大部分人来说都是陷阱，技术、指标都是给有能力的人玩的。
做交易看只看K线和均线就足够了，均线只用看一两根就行了，不要看小于60日的均线。
建议看看这篇帖子《最好的事业，竟然成了绝大多数人亏损的根源》，还有刀疤老二写的帖子。
这是过来人对你的建议，希望你不要走那些不必要的弯路。
48思维模型：分形理论一非线性科学三大理论前沿之一
我们上学的时候都学过，我国的海岸线全长一万八千余公里(北起鸭绿江口,南止北仓河口)。这个长度是以1公里长的标尺测量得到的。然而如果我们采用短些的标尺,例如1 厘米长的标尺,则测得海岸线长度为381.2万公里,这是地理书上给出长度的212倍。为什么呢？
原因是由于港湾海角的存在,海岸线是相当的曲折,用大的标尺去测量会忽略掉其很多的弯曲的细节。海岸线的长度与测量单位有关，以1km为 单位测量海岸线，就会将短于1km的迁回曲折长度忽略掉;若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迁回曲折，长度将变大;若测量单位进一步地变小，测得的长度就会愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一一个确定值，这就是海岸线的长度。
其实早在1967年Mandelbrot就提出“英国的海岸线有多长?”的问题
Mandelbrot发现:当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。这就是因为海岸线是极不规则和极不光滑的。
在自然界中，几乎没有什么东西是平缓的，大多数事物都是有皱褶的、不规则的、细圆齿状的，通常都以一种自相似的形式存在。想想森林、山脉、蔬菜、云和海洋表面。由此看来，大多数自然物体都没有绝对的客观长度，在陈述测量结果时，很重要的一点是分辨率是多少。
人类在设计和制造人类工程学产品时，无论是原始的罐子和工具，还是现代化的复杂汽车、计算机和摩天大楼。我们都使用并且追求直线、平滑曲线和平滑表面的简单性。量化测量的发展及数学的发明，尤其是欧几里得几何的理想化范式，完美地展现了这一点。
在这个人工制品的新世界中，我们不可避免地习惯于通过蒙蔽我们的欧几里得几何(直线、平滑曲线和平滑表面)的滤镜观察世界。但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、闪电、海浪等等，用欧几里德几何学是无能为力的。
复杂科学认为，客观世界是高度复杂的，而且被褶皱、波纹和小褶皱主导。正Mandelbrot简单明了地概述:“平缓的形状在野外很少见，但在象牙塔和工厂中极为重要。”
所以科学家们认为“世界在本质上是非线性的”。在非线性世界里，随机性和复杂性是其主要特征，但同时，在这些极其复杂的现象背后，存在着某种规律性。
产生于上世纪70年代的分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题，透过扑朔迷离的无序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间的本质联系。
分形是一门新的学科，它的历史很短，目前正处在发展之中，它涉及面广但还不够成熟，然而分形理论具有强大的生命力。世界上1257种学术刊物在80年代后期发表的论文中,与分形有关的占据37.5%。从发表论文来看，所涉及的领域包括哲学、物理、化学、材料化学、电子技术、表面科学、计算机科学、生物学、医学、农学、天文学、气象学、地质学、地理学、城市规划学、地震学、经济学、历史学、人口学、情报学、商品学、电影美学、思维、音乐、艺术等。
1 、分形的定义 ：部分以某种形式与整体相似的形状叫分形。（Mandelbrot）
所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分形的几何，称为分形几何。 分形几何也是目前最前沿的学科。
我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，分形几何是研究自然界大量存在的不规则形体。
伟大的数学家美籍华人陈省身认为几何学可分为以下阶段:
第一阶段：公理(欧几里德) ;
第二阶段：坐标(笛卡尔、费马) ;
第三阶段：微积分(牛顿 菜布尼兹) ;
第四阶段：群(克莱因、李)
第五阶段：流形(黎曼) ;
第六阶段：纤维丛(嘉当、惠特尼)。
第七阶段：分形几何(曼德勃罗特)
所以分形几何是二十一世纪的几何。
2 、分形的提出者：Mandelbrot
分形这个名词是由曼德勃罗特在1975年首次提出（创造）的，其原义是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体。曼德勃罗特是美国IBM公司沃特森研究中心自然科学部高级研究员，哈佛大学应用数学兼职教授，美国国家科学院院士。曾先后在哈佛大学教过经济学，在耶鲁大学教过工程学，在爱因斯坦医学院教过生理学。研究领域横跨数学、物理学、地学、经济学、生理学、计算机、天文学、情报学、信息与通讯、城市与人口、哲学与艺术等众多学科与专业，是一位真正的跨学科的博学家。正是这些不同学科或问题的杂交，才结出一个完全新颖的果实一一分形理论。他出版的专著《自然界的分形几何学》，代表着分形理论初步形成。
1 、自相似性
分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。例如菜花、树叶等。
人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学，以及社会科学等众多的科学之中，是自然界普遍的规律之一。下面举几个例子来说明自相似性。
太阳系的构造与原子的结构作一对比，就会发现这两个系统在某些方面具有惊人的相似。虽然这两个系统在自然界中尺度相差如此悬殊，但它们物质系统之间存在着自相似的性质。
物质系统之间的自相似性在生物界也广泛地存在着。以人为例，人是由类人猿进化到一定程度的产物，解剖学研究表明，人体中的大脑、神经系统、血管、呼吸系统、消化系统等在结构上都具有高度的自相似性。
一棵大树由许多树枝和树叶组成，若把一根树枝与该棵大树相比，在构成形式上完全相似。又会发现该树枝上分叉长出来的更小的细枝条，仍具有大树构成的特点。当然，这只能是在一定尺度上呈现相似性，不会无限扩展下去。另外，树枝与树枝之间，树叶与树叶之间，也呈现出明显的自相似性。再仔细观察树叶的叶脉，也可以发现类似的自相似结构。
佛说：一沙一世界，一花一天堂；袖里有乾坤，壶中有日月； 在每一粒灰尘中都呈现出无数的佛。《易经》认为:“无极生两仪，俩仪生四象，四象生八卦。《道德经》认为：道生一、一生二、二生三、三生万物、以今天分形几何的观点来看，古人的思想里包含有自相似概念。
2 、标度不变性
所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这时得到的放大图形又会显示出原图的形态特性。因此,对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特点均不会变化。所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说，如果用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看到的情形是一样的，从观察到的图象，无法判断所用放大镜的倍数。
自相似性与标度不变性是密切相关的。自相似性和标度不变性是分形的两个重要特性。
分形理论是一个交叉性的横断学科，从振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学，从分子生物学到生理学、生物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学，从经济学到语言学、社会学等等，无不闪现着分形的身影。
美国著名物理学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能称为科学的文化人。说明了分形理论的巨大科学价值。下面从哲学、经济等几个维度阐述一下分形理论的应用。
1 、哲学
（1）整体与部分
分形理论打破了整体与部分之间的隔膜，找到了部分过渡到整体的媒介和桥梁即整体与部分之间的相似。从认识事物的途径或思考问题的方法来看，分形论与系统论分别体现了从两个端点出发的思路。它们之间的互补，恰好完整地、全面地体现了辩证的思维方法。系统论由整体出发来确立各个部分的系统性质，它沿着从宏观到微观的方向考察整体与部分之间的相关性。而分形论则由部分出发来确立整体的性质，沿着微观到宏观的方向考察部分与整体之间的相似性。也就是说，系统论强调了部分依赖于整体的性质，体现了从整体出发认识部分的方法，分形论强调了整体依赖于部分的性质，体现了从部分出发认识整体的方法。于是，两者构成的互补，即系统论和分形论相互辉映，极大地提高了人类对自然界认识的能力。
分形论作为认识世界的一新方法，不仅在于从整体与部分之间的信息“同构”中，找到了从部分过渡到整体的媒介和桥梁，为人们从部分中认识整体、从有限中认识无限提供了可能和根据，而且分形论的提出使人们对整体与部分关系的认识方法、思维方法由线性阶梯进展到非线性阶梯，揭示了它们之间多层面、多视角、多维度的联系方式。
（2）生成论和构成论的自然观
自然观与自然科学的发展紧密联系，任何关于自然界的科学理论，原则上都可以成为建立某种自然观的根据，并形成一种研究纲领。例如，随着物理学的发展出现过以牛顿力学为基础的力学世界图景、以热力学为基础的能学世界图景、以电磁学为基础的电磁世界图景以及基本相互作用统一的物理世界图景，随着生物学的发展出现进化世界图景，随着非平衡态热力学的发展出现自组织世界图像。分形几何作为描述复杂自然形态及其生成机制的有力工具，又为人类建构新的自然图景提供了新的科学根据，形成一种新的自然图景。
分形理论已经对自然观产生强烈影响，从分形的观点看世界，我们发现，这个世界是以分形的方式存在和演化着的世界。
在人类探索宇宙的本原之始，就存在着事物是由本原生成的还是由本原构成的争论。生成论认为事物是由本原生成的，它的变化是“产生”、“消亡”或“转化”；构成论认为事物是由本原构成的，它的变化是要素之间的结合或分离。构成论思想产生于古代希腊的原子论，深深地影响着科学家的思维。构成论认为自然界的一切事物都归结为基本粒子的结合或分离。这种思考和分析问题的方法推动了科学技术的进步，取得一系列成果，诸如汽车、电视机、电脑等产品给人类的生活带来了许多方便和舒适。但是，根据构成论思想，把一个东西不断分割下去，以便给出一切问题的解答，遇到很大困难。所以科学家们开始转向生成论。宇宙的演化、生物的进化、思维的形成无不表现为一个生成的过程，这一切无不支持生成论，但因其缺乏理论支持，而未能被科学界普遍接受。分形生成过程的迭代性(或递归性)为生成论自然观提供了理论根据，而且分形几何已经证明，任何复杂的事物形态原则上都可以通过迭代法生成。
2 、经济学
股票价格变动图因价格涨落得非常厉害，而且完全是随机的，因此使人感到几乎无规律可循。但若从统计学观点解析这一变动，就会发现有很好的规律。Mandelbrot发现下面两个法则：
⑴每个单位时间内的股票价格变动分布，服从特性指数D≈1.7的对称稳定分布。
⑵单位时间不论取多大或多小，其分布也是相似的。也就是说，适当地改变尺度，就可成为同样的分布。
因此，我们可以从分形的角度去思考股票价格的波动，虽然不能够帮助我们预测未来，但为我们提供了一个分析维度。
3 、其他领域（音乐、艺术、图形压缩等）
著名的电影“星球大战”就是利用分形技术创作的。由于分形的最重要特征是自相似性，所以信息科学家对其情有独钟，分形图像压缩被认为最具前景的图像压缩技术之一，分形图形学被认为是描绘大自然景色最诱人的方法。
分形音乐是利用分形理论来建构一些带有自相似小段的合成音乐，由一个算法的多重迭代产生的，主题在带有小调的三番五次的返复循环中重复，在节奏方面可以加上一些随机变化，它所创造的效果，无论在宏观上还是在微观上都能逼真地模仿真正的音乐。
总结
分形理论是一门重要的新学科，它的历史很短，但是卷入分形狂潮的除数学家和物理学家外，还有化学家、生物学家、地貌学与地震学家、材料学家等，在社会科学与人文科学方面，大批哲学家、经济学家、金融学家乃至作家画家和电影制作家都蜂拥而入。分形理论正处于发展之中，它涉及面广但还不够成熟，对它争论也不少，但是由于已被广泛应用到自然科学和社会科学的几乎所有领域，所以成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一。
参考文献：
分形的哲学漫步——林夏水
分形理论的科学和哲学意义——张国祺
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